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問答題

在R³中，取α₁=（1，-1，1），α₂=（2，1，1），α₃=（1，0，0）。

令β₁=α₁+α₂，β₂=α₂+α₃，β₃=α₁+α₃，求出α₁，α₂，α₃到β₁，β₂，β₃的過渡矩陣P₁及β₁，β₂，β₃到α₁，α₂，α₃的過渡矩陣P₂。

1.單項選擇題齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是（）。

A.系數(shù)矩陣A的任意兩個列向量線性無關
B.系數(shù)矩陣A的任意兩個列向量線性相關
C.系數(shù)矩陣A中必有一個列向量是其余列向量的線性組合
D.系數(shù)矩陣A中任一個列向量必是其余列向量的線性組合

2.問答題 在R³中，取α₁=（1，-1，1），α₂=（2，1，1），α₃=（1，0，0）。
試證α₁，α₂，α₃位R³的一組基。

3.問答題設a₁=（1，-1，1，-1）^T，a₂=（3，1，1，3）^T，b₁=（2，0，1，1）^T，b₂=（3，-1，2，0）^T，b₃=（3，-1，2，0）^T，證明向量組a₁，a₂與向量組b₁，b₂，b₃等價.

4.問答題在R³中求一向量x，使它在下列兩組基α₁=（1，0，0），α₂=（0，1，0），α₃=（0，0，1）及β₁=（2，1，-1），β₂=（0，3，1），β₃=（1，3，1）下有相同的坐標。

5.問答題 設向量組B：β₁，β₂，···，β_r能由向量組A：α₁，α₂，···，α_r線性表示為

其中K為s×r矩陣，且A組線性無關，證明B組線性無關的充要條件是矩陣K的秩R（K）=r.