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問答題
有一批燈泡壽命（小時)的抽取樣本：
1458，?1395，?1562，?1614，?1351
1490，?1478，?1382，?1536，?1496
試用矩估計法對這批燈泡的平均壽命μ及壽命方差σ2作出矩估計．
1490，?1478，?1382，?1536，?1496
試用矩估計法對這批燈泡的平均壽命μ及壽命方差σ2作出矩估計．
答案：
矩估計法是一種參數(shù)估計方法，它基于樣本矩與總體矩相等的原理。對于正態(tài)分布的總體，其一階原點矩（即均值）和二階中心矩（即方差）分別等于樣本均值和樣本方差。
設總體均值為 $\mu$，總體方差為 $\sigma^2$，樣本均值為 $\bar{x}$，樣本方差為 $s^2$。
樣本均值 $\bar{x}$ 的計算公式為：
$$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$
樣本方差 $s^2$ 的計算公式為：
$$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $$
其中 $x_i$ 是樣本中的每一個觀測值，$n$ 是樣本的大小。
現(xiàn)在我們有樣本數(shù)據(jù)：1458, 1395, 1562, 1614, 1351, 1490, 1478, 1382, 1536, 1496。
首先計算樣本均值 $\bar{x}$：
$$ \bar{x} = \frac{1}{10} (1458 + 1395 + 1562 + 1614 + 1351 + 1490 + 1478 + 1382 + 1536 + 1496) $$
$$ \bar{x} = \frac{1}{10} (14362) $$
$$ \bar{x} = 1436.2 $$
然后計算樣本方差 $s^2$：
$$ s^2 = \frac{1}{10-1} \left[ (1458 - 1436.2)^2 + (1395 - 1436.2)^2 + (1562 - 1436.2)^2 + (1614 - 1436.2)^2 + (1351 - 1436.2)^2 + (1490 - 1436.2)^2 + (1478 - 1436.2)^2 + (1382 - 1436.2)^2 + (1536 - 1436.2)^2 + (1496 - 1436.2)^2 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ (21.8)^2 + (-41.2)^2 + (125.8)^2 + (177.8)^2 + (-85.2)^2 + (53.8)^2 + (41.8)^2 + (-54.2)^2 + (99.8)^2 + (59.8)^2 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ 475.24 + 1700.64 + 15825.64 + 31612.84 + 7254.24 + 2896.84 + 1748.84 + 2937.64 + 9960.04 + 3576.04 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ 73687.04 \right] $$
$$ s^2 = 8187.45 $$
因此，這批燈泡的平均壽命 $\mu$ 的矩估計值為 1436.2 小時，壽命方差 $\sigma^2$ 的矩估計值為 8187.45 小時2。
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問答題
一骰子擲了120次，得結(jié)果如下：
點數(shù)：??1??2??3??4??5??6
出現(xiàn)次數(shù)：?23?26?21?20?15?15
試在顯著性水平α=0.05下檢驗這顆骰子是否勻稱？
出現(xiàn)次數(shù)：?23?26?21?20?15?15
試在顯著性水平α=0.05下檢驗這顆骰子是否勻稱？
答案：
為了檢驗這顆骰子是否勻稱，我們可以使用卡方檢驗（Chi-Square Test）來分析。卡方檢驗是一種統(tǒng)計學方法，用于檢驗觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間是否存在顯著差異。骰子是均勻的，意味著每個面出現(xiàn)的概率都是相同的，即1/6。因此，如果骰子是均勻的，那么在足夠多次的投擲中，每個面出現(xiàn)的次數(shù)應該接近總次數(shù)的1/6。
首先，我們計算期望頻數(shù)（Expected Frequency, E）：
總投擲次數(shù) = 120
每個面的期望出現(xiàn)次數(shù) = 總投擲次數(shù) / 面數(shù) = 120 / 6 = 20
接下來，我們計算卡方統(tǒng)計量（Chi-Square Statistic, χ2）：
χ2 = Σ[(O - E)2 / E]
其中，O代表觀察頻數(shù)（Observed Frequency），E代表期望頻數(shù)。
根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，我們可以計算每個面的卡方值：
面數(shù)1: (23 - 20)2 / 20 = 0.49
面數(shù)2: (26 - 20)2 / 20 = 1.8
面數(shù)3: (21 - 20)2 / 20 = 0.01
面數(shù)4: (20 - 20)2 / 20 = 0
面數(shù)5: (15 - 20)2 / 20 = 1.25
面數(shù)6: (15 - 20)2 / 20 = 1.25
現(xiàn)在，我們計算總的卡方值：
χ2 = 0.49 + 1.8 + 0.01 + 0 + 1.25 + 1.25 = 4.8
接下來，我們需要確定自由度（Degrees of Freedom, df）。對于骰子，自由度是面數(shù)減去1，即：
df = 面數(shù) - 1 = 6 - 1 = 5
現(xiàn)在我們有了卡方值和自由度，我們可以查找卡方分布表，或者使用統(tǒng)計軟件來確定在顯著性水平α=0.05下的臨界值。對于自由度為5的卡方分布，在α=0.05的顯著性水平下，臨界值大約是11.07。
由于我們計算得到的卡方值4.8小于臨界值11.07，我們不能拒絕原假設（即骰子是均勻的）。因此，在顯著性水平α=0.05下，我們沒有足夠的證據(jù)表明這顆骰子不是均勻的。
問答題
某車間生產(chǎn)的圓盤的直徑X～U（a，b)，求圓盤面積f（x)={1/（...
某車間生產(chǎn)的圓盤的直徑X～U(a，b)，求圓盤面積f(x)={1/(b-a) ab的概率密度fY(y)．;$＞
答案：
首先，我們知道圓盤的直徑X服從區(qū)間[a, b]上的均勻分布，記為X～U(a, b)。均勻分布的概率密度函數(shù)為：
$$
f_X(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a} & \text{for } a \leq x \leq b \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
圓盤的面積f(x)是直徑的函數(shù)，即f(x) = π*(x/2)^2。我們需要找到面積Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)。
首先，我們找到面積Y關于直徑X的函數(shù)關系：
$$
Y = f(X) = \pi \left(\frac{X}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}X^2
$$
然后，我們需要找到Y(jié)的概率密度函數(shù)。為此，我們使用變量變換的方法。如果Y = g(X)是一個單調(diào)函數(shù)，那么Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)可以通過下面的公式得到：
$$
f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \fracewayzab{dy}g^{-1}(y) \right|
$$
其中g^{-1}(y)是g(X)的反函數(shù)。首先，我們找到X關于Y的反函數(shù)：
$$
X = g^{-1}(Y) = \sqrt{\frac{4Y}{\pi}}
$$
然后，我們計算反函數(shù)的導數(shù)：
$$
\fracdsfwgkv{dy}g^{-1}(y) = \fracmfgfoif{dy}\sqrt{\frac{4Y}{\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}}
$$
現(xiàn)在，我們可以將X的概率密度函數(shù)和反函數(shù)的導數(shù)代入公式中，得到Y(jié)的概率密度函數(shù)：
$$
f_Y(y) = f_X(\sqrt{\frac{4Y}{\pi}}) \left| \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}} \right| = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}}
$$
由于X的取值范圍是[a, b]，我們需要考慮Y的取值范圍。當X = a時，Y的最小值為：
$$
Y_{\text{min}} = \frac{\pi}{4}a^2
$$
當X = b時，Y的最大值為：
$$
Y_{\text{max}} = \frac{\pi}{4}b^2
$$
因此，Y的取值范圍是[Y_min, Y_max]。所以，Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)為：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{(b-a)2\sqrt{\pi Y}} & \text{for } \frac{\pi}{4}a^2 \leq y \leq \frac{\pi}{4}b^2 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
這就是圓盤面積Y的概率密度函數(shù)。
