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問(wèn)答題
一骰子擲了120次，得結(jié)果如下：
點(diǎn)數(shù)：??1??2??3??4??5??6
出現(xiàn)次數(shù)：?23?26?21?20?15?15
試在顯著性水平α=0.05下檢驗(yàn)這顆骰子是否勻稱？
出現(xiàn)次數(shù)：?23?26?21?20?15?15
試在顯著性水平α=0.05下檢驗(yàn)這顆骰子是否勻稱？
答案：
為了檢驗(yàn)這顆骰子是否勻稱，我們可以使用卡方檢驗(yàn)（Chi-Square Test）來(lái)分析。卡方檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，用于檢驗(yàn)觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間是否存在顯著差異。骰子是均勻的，意味著每個(gè)面出現(xiàn)的概率都是相同的，即1/6。因此，如果骰子是均勻的，那么在足夠多次的投擲中，每個(gè)面出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)該接近總次數(shù)的1/6。
首先，我們計(jì)算期望頻數(shù)（Expected Frequency, E）：
總投擲次數(shù) = 120
每個(gè)面的期望出現(xiàn)次數(shù) = 總投擲次數(shù) / 面數(shù) = 120 / 6 = 20
接下來(lái)，我們計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量（Chi-Square Statistic, χ2）：
χ2 = Σ[(O - E)2 / E]
其中，O代表觀察頻數(shù)（Observed Frequency），E代表期望頻數(shù)。
根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算每個(gè)面的卡方值：
面數(shù)1: (23 - 20)2 / 20 = 0.49
面數(shù)2: (26 - 20)2 / 20 = 1.8
面數(shù)3: (21 - 20)2 / 20 = 0.01
面數(shù)4: (20 - 20)2 / 20 = 0
面數(shù)5: (15 - 20)2 / 20 = 1.25
面數(shù)6: (15 - 20)2 / 20 = 1.25
現(xiàn)在，我們計(jì)算總的卡方值：
χ2 = 0.49 + 1.8 + 0.01 + 0 + 1.25 + 1.25 = 4.8
接下來(lái)，我們需要確定自由度（Degrees of Freedom, df）。對(duì)于骰子，自由度是面數(shù)減去1，即：
df = 面數(shù) - 1 = 6 - 1 = 5
現(xiàn)在我們有了卡方值和自由度，我們可以查找卡方分布表，或者使用統(tǒng)計(jì)軟件來(lái)確定在顯著性水平α=0.05下的臨界值。對(duì)于自由度為5的卡方分布，在α=0.05的顯著性水平下，臨界值大約是11.07。
由于我們計(jì)算得到的卡方值4.8小于臨界值11.07，我們不能拒絕原假設(shè)（即骰子是均勻的）。因此，在顯著性水平α=0.05下，我們沒(méi)有足夠的證據(jù)表明這顆骰子不是均勻的。
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問(wèn)答題
某車間生產(chǎn)的圓盤的直徑X～U（a，b)，求圓盤面積f（x)={1/（...
某車間生產(chǎn)的圓盤的直徑X～U(a，b)，求圓盤面積f(x)={1/(b-a) ab的概率密度f(wàn)Y(y)．;$＞
答案：
首先，我們知道圓盤的直徑X服從區(qū)間[a, b]上的均勻分布，記為X～U(a, b)。均勻分布的概率密度函數(shù)為：
$$
f_X(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a} & \text{for } a \leq x \leq b \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
圓盤的面積f(x)是直徑的函數(shù)，即f(x) = π*(x/2)^2。我們需要找到面積Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)。
首先，我們找到面積Y關(guān)于直徑X的函數(shù)關(guān)系：
$$
Y = f(X) = \pi \left(\frac{X}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}X^2
$$
然后，我們需要找到Y(jié)的概率密度函數(shù)。為此，我們使用變量變換的方法。如果Y = g(X)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)可以通過(guò)下面的公式得到：
$$
f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \fractbahusw{dy}g^{-1}(y) \right|
$$
其中g(shù)^{-1}(y)是g(X)的反函數(shù)。首先，我們找到X關(guān)于Y的反函數(shù)：
$$
X = g^{-1}(Y) = \sqrt{\frac{4Y}{\pi}}
$$
然后，我們計(jì)算反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
$$
\fracdttvvrt{dy}g^{-1}(y) = \fracfnnxbqa{dy}\sqrt{\frac{4Y}{\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}}
$$
現(xiàn)在，我們可以將X的概率密度函數(shù)和反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)代入公式中，得到Y(jié)的概率密度函數(shù)：
$$
f_Y(y) = f_X(\sqrt{\frac{4Y}{\pi}}) \left| \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}} \right| = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}}
$$
由于X的取值范圍是[a, b]，我們需要考慮Y的取值范圍。當(dāng)X = a時(shí)，Y的最小值為：
$$
Y_{\text{min}} = \frac{\pi}{4}a^2
$$
當(dāng)X = b時(shí)，Y的最大值為：
$$
Y_{\text{max}} = \frac{\pi}{4}b^2
$$
因此，Y的取值范圍是[Y_min, Y_max]。所以，Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)為：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{(b-a)2\sqrt{\pi Y}} & \text{for } \frac{\pi}{4}a^2 \leq y \leq \frac{\pi}{4}b^2 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
這就是圓盤面積Y的概率密度函數(shù)。
問(wèn)答題
設(shè)某種農(nóng)作物的產(chǎn)量（kg/畝)近似服從正態(tài)分布，其樣本為
37.51?37.56?39.78?40.27?38.26?38.79求產(chǎn)量方差σ2的置信區(qū)間．(α=0.05)
答案：
為了求解產(chǎn)量方差σ2的置信區(qū)間，我們需要使用卡方分布（χ2分布）來(lái)構(gòu)建置信區(qū)間。首先，我們需要計(jì)算樣本的均值（\(\bar{x}\)）和樣本方差（s2）。
樣本均值 \(\bar{x}\) 的計(jì)算公式為：
\[
\bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n}
\]
樣本方差 s2 的計(jì)算公式為：
\[
s^2 = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}{n-1}
\]
其中 \(x_i\) 是樣本值，\(n\) 是樣本數(shù)量。
給定的樣本值為：37.51, 37.56, 39.78, 40.27, 38.26, 38.79。
首先計(jì)算樣本均值：
\[
\bar{x} = \frac{37.51 + 37.56 + 39.78 + 40.27 + 38.26 + 38.79}{6}
\]
\[
\bar{x} = \frac{232.17}{6}
\]
\[
\bar{x} ≈ 38.695
\]
然后計(jì)算樣本方差：
\[
s^2 = \frac{(37.51 - 38.695)^2 + (37.56 - 38.695)^2 + (39.78 - 38.695)^2 + (40.27 - 38.695)^2 + (38.26 - 38.695)^2 + (38.79 - 38.695)^2}{6-1}
\]
\[
s^2 = \frac{(-1.185)^2 + (-1.135)^2 + (1.085)^2 + (1.575)^2 + (-0.435)^2 + (0.095)^2}{5}
\]
\[
s^2 = \frac{1.404225 + 1.288225 + 1.177225 + 2.480625 + 0.189225 + 0.009025}{5}
\]
\[
s^2 = \frac{6.54855}{5}
\]
\[
s^2 ≈ 1.30971
\]
現(xiàn)在我們有了樣本方差 \(s^2\)，接下來(lái)我們需要查找卡方分布表來(lái)找到自由度為 \(n-1 = 6-1 = 5\) 時(shí)，α/2 = 0.025 和 1 - α/2 = 0.975 的卡方臨界值。
假設(shè)我們查表得到：
\[
\chi^2_{0.025, 5} = 0.831
\]
\[
\chi^2_{0.975, 5} = 12.833
\]
置信區(qū)間的公式為：
\[
\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \right)
\]
將值代入公式：
\[
\left( \frac{(6-1) \cdot 1.30971}{12.833}, \frac{(6-1) \cdot 1.30971}{0.831} \right)
\]
\[
\left( \frac{5 \cdot 1.30971}{12.833}, \frac{5 \cdot 1.30971}{0.831} \right)
\]
\[
\left( \frac{6.54855}{12.833}, \frac{6.54855}{0.831} \right)
\]
\[
\left( 0.510, 7.881 \right)
\]
因此，產(chǎn)量方差σ2的95%置信區(qū)間大約為 (0.510, 7.881)。請(qǐng)注意，實(shí)際的卡方臨界值可能略有不同，取決于你所使用的卡方分布表或統(tǒng)計(jì)軟件。因此，最終的置信區(qū)間可能會(huì)有細(xì)微的差異。
