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問答題
某車間生產(chǎn)的圓盤的直徑X～U（a，b)，求圓盤面積f（x)={1/（...
某車間生產(chǎn)的圓盤的直徑X～U(a，b)，求圓盤面積f(x)={1/(b-a) ab的概率密度fY(y)．;$＞
答案：
首先，我們知道圓盤的直徑X服從區(qū)間[a, b]上的均勻分布，記為X～U(a, b)。均勻分布的概率密度函數(shù)為：
$$
f_X(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a} & \text{for } a \leq x \leq b \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
圓盤的面積f(x)是直徑的函數(shù)，即f(x) = π*(x/2)^2。我們需要找到面積Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)。
首先，我們找到面積Y關(guān)于直徑X的函數(shù)關(guān)系：
$$
Y = f(X) = \pi \left(\frac{X}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}X^2
$$
然后，我們需要找到Y(jié)的概率密度函數(shù)。為此，我們使用變量變換的方法。如果Y = g(X)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)可以通過下面的公式得到：
$$
f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \fracmssgnsc{dy}g^{-1}(y) \right|
$$
其中g(shù)^{-1}(y)是g(X)的反函數(shù)。首先，我們找到X關(guān)于Y的反函數(shù)：
$$
X = g^{-1}(Y) = \sqrt{\frac{4Y}{\pi}}
$$
然后，我們計(jì)算反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
$$
\fracfcmvisy{dy}g^{-1}(y) = \fracdfrzksb{dy}\sqrt{\frac{4Y}{\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}}
$$
現(xiàn)在，我們可以將X的概率密度函數(shù)和反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)代入公式中，得到Y(jié)的概率密度函數(shù)：
$$
f_Y(y) = f_X(\sqrt{\frac{4Y}{\pi}}) \left| \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}} \right| = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{\pi Y}}
$$
由于X的取值范圍是[a, b]，我們需要考慮Y的取值范圍。當(dāng)X = a時(shí)，Y的最小值為：
$$
Y_{\text{min}} = \frac{\pi}{4}a^2
$$
當(dāng)X = b時(shí)，Y的最大值為：
$$
Y_{\text{max}} = \frac{\pi}{4}b^2
$$
因此，Y的取值范圍是[Y_min, Y_max]。所以，Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)為：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{(b-a)2\sqrt{\pi Y}} & \text{for } \frac{\pi}{4}a^2 \leq y \leq \frac{\pi}{4}b^2 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
這就是圓盤面積Y的概率密度函數(shù)。
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問答題
設(shè)某種農(nóng)作物的產(chǎn)量（kg/畝)近似服從正態(tài)分布，其樣本為
37.51?37.56?39.78?40.27?38.26?38.79求產(chǎn)量方差σ2的置信區(qū)間．(α=0.05)
答案：
為了求解產(chǎn)量方差σ2的置信區(qū)間，我們需要使用卡方分布（χ2分布）來構(gòu)建置信區(qū)間。首先，我們需要計(jì)算樣本的均值（\(\bar{x}\)）和樣本方差（s2）。
樣本均值 \(\bar{x}\) 的計(jì)算公式為：
\[
\bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n}
\]
樣本方差 s2 的計(jì)算公式為：
\[
s^2 = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}{n-1}
\]
其中 \(x_i\) 是樣本值，\(n\) 是樣本數(shù)量。
給定的樣本值為：37.51, 37.56, 39.78, 40.27, 38.26, 38.79。
首先計(jì)算樣本均值：
\[
\bar{x} = \frac{37.51 + 37.56 + 39.78 + 40.27 + 38.26 + 38.79}{6}
\]
\[
\bar{x} = \frac{232.17}{6}
\]
\[
\bar{x} ≈ 38.695
\]
然后計(jì)算樣本方差：
\[
s^2 = \frac{(37.51 - 38.695)^2 + (37.56 - 38.695)^2 + (39.78 - 38.695)^2 + (40.27 - 38.695)^2 + (38.26 - 38.695)^2 + (38.79 - 38.695)^2}{6-1}
\]
\[
s^2 = \frac{(-1.185)^2 + (-1.135)^2 + (1.085)^2 + (1.575)^2 + (-0.435)^2 + (0.095)^2}{5}
\]
\[
s^2 = \frac{1.404225 + 1.288225 + 1.177225 + 2.480625 + 0.189225 + 0.009025}{5}
\]
\[
s^2 = \frac{6.54855}{5}
\]
\[
s^2 ≈ 1.30971
\]
現(xiàn)在我們有了樣本方差 \(s^2\)，接下來我們需要查找卡方分布表來找到自由度為 \(n-1 = 6-1 = 5\) 時(shí)，α/2 = 0.025 和 1 - α/2 = 0.975 的卡方臨界值。
假設(shè)我們查表得到：
\[
\chi^2_{0.025, 5} = 0.831
\]
\[
\chi^2_{0.975, 5} = 12.833
\]
置信區(qū)間的公式為：
\[
\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \right)
\]
將值代入公式：
\[
\left( \frac{(6-1) \cdot 1.30971}{12.833}, \frac{(6-1) \cdot 1.30971}{0.831} \right)
\]
\[
\left( \frac{5 \cdot 1.30971}{12.833}, \frac{5 \cdot 1.30971}{0.831} \right)
\]
\[
\left( \frac{6.54855}{12.833}, \frac{6.54855}{0.831} \right)
\]
\[
\left( 0.510, 7.881 \right)
\]
因此，產(chǎn)量方差σ2的95%置信區(qū)間大約為 (0.510, 7.881)。請(qǐng)注意，實(shí)際的卡方臨界值可能略有不同，取決于你所使用的卡方分布表或統(tǒng)計(jì)軟件。因此，最終的置信區(qū)間可能會(huì)有細(xì)微的差異。
問答題
設(shè)X（t)和Y（t)是兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的過程，證明
Re SYX(ω)=Re SXY(ω)，lmSYX(ω)=-lmSXY(ω)．
答案：
要證明這個(gè)關(guān)系，我們需要使用平穩(wěn)過程的性質(zhì)和互譜密度的定義。
首先，我們回顧一下互譜密度（cross-spectral density）的定義。對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)，它們的互譜密度SYX(ω)和SXY(ω)定義為：
\[ S_{YX}(\omega) = \mathcal{F}\{R_{YX}(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} R_{YX}(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau \]
\[ S_{XY}(\omega) = \mathcal{F}\{R_{XY}(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} R_{XY}(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau \]
其中，\( R_{YX}(\tau) \) 和 \( R_{XY}(\tau) \) 分別是X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)，\( \mathcal{F} \) 表示傅里葉變換。
由于X(t)和Y(t)是平穩(wěn)過程，它們的互相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)：
\[ R_{YX}(\tau) = E[Y(t+\tau)X^*(t)] \]
\[ R_{XY}(\tau) = E[X(t+\tau)Y^*(t)] \]
其中，\( E[\cdot] \) 表示期望值，\( X^*(t) \) 和 \( Y^*(t) \) 分別是X(t)和Y(t)的復(fù)共軛。
由于\( R_{YX}(\tau) \)和\( R_{XY}(\tau) \)都是實(shí)數(shù)函數(shù)，我們可以得出以下結(jié)論：
\[ R_{YX}(-\tau) = R_{YX}^*(\tau) \]
\[ R_{XY}(-\tau) = R_{XY}^*(\tau) \]
這是因?yàn)榛ハ嚓P(guān)函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，并且由于\( X(t) \)和\( Y(t) \)是實(shí)數(shù)過程，它們的共軛等于它們自身。
現(xiàn)在，我們來證明互譜密度的實(shí)部和虛部的關(guān)系：
\[ \text{Re} S_{YX}(\omega) = \text{Re} \int_{-\infty}^{\infty} R_{YX}(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau \]
\[ \text{Re} S_{XY}(\omega) = \text{Re} \int_{-\infty}^{\infty} R_{XY}(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau \]
由于\( R_{YX}(\tau) \)和\( R_{XY}(\tau) \)是共軛對(duì)稱的，我們可以寫出：
\[ \text{Re} S_{YX}(\omega) = \text{Re} \int_{-\infty}^{\infty} R_{YX}(\tau) (\cos(\omega\tau) - j\sin(\omega\tau)) d\tau \]
\[ \text{Re} S_{XY}(\omega) = \text{Re} \int_{-\infty}^{\infty} R_{XY}(\tau) (\cos(\omega\tau) + j\sin(\omega\tau)) d\tau \]
由于\( R_{YX}(\tau) \)和\( R_{XY}(\tau) \)是共軛對(duì)稱的，我們可以得出：
\[ \text{Re} S_{YX}(\omega) = \text{Re} S_{XY}(\omega) \]
對(duì)于虛部，我們有：
\[ \text{Im} S_{YX}(\omega) = \text{Im} \int_{-\infty}^{\infty} R_{YX}(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau \]
\[ \text{Im} S_{XY}(\omega) = \text{Im} \int_{-\infty}^{\infty} R_{XY}(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau \]
由于\( R_{YX}(\tau) \)和\( R_{XY}(\tau) \)是共軛對(duì)稱的，我們可以得出：
\[ \text{Im} S_{YX}(\omega) = -\text{Im} \int_{-\infty}^{\infty} R_{YX}(\tau) (\cos(\omega\tau) - j\sin(\omega\tau)) d\tau \]
\[ \text{Im} S_{XY}(\omega) = \text{Im} \int_{-\infty}^{\infty} R_{XY}(\tau) (\cos(\omega\tau) + j\sin(\omega\tau)) d\tau \]
因此：
\[ \text{Im} S_{YX}(\omega) = -\text{Im} S_{XY}(\omega) \]
綜上所述，我們證明了對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的過程X(t)和Y(t)，有：
\[ \text{Re} S_{YX}(\omega) = \text{Re} S_{XY}(\omega) \]
\[ \text{Im} S_{YX}(\omega) = -\text{Im} S_{XY}(\omega) \]
這完成了證明。
