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問(wèn)答題
設(shè)X是賦范空間，x，Y∈X，‖x‖=‖y‖=1，x≠Y。證明：若X是嚴(yán)格凸的，則對(duì)0＜t＜1，
‖tx+(1-t)y‖＜1??(5)
再證明若任取x，y∈X，‖x‖=‖y‖=1，且x≠y時(shí)，都存在0＜t＜1，使得(5)式成立，則X是嚴(yán)格凸的。
再證明若任取x，y∈X，‖x‖=‖y‖=1，且x≠y時(shí)，都存在0＜t＜1，使得(5)式成立，則X是嚴(yán)格凸的。
答案：
首先，我們來(lái)證明第一個(gè)命題：若X是嚴(yán)格凸的，則對(duì)0＜t＜1，有‖tx+(1-t)y‖＜1。由于X是嚴(yán)格凸的，那么對(duì)于任意...
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問(wèn)答題
設(shè)Y是賦范空間X的子空間，g∈Y'且f∈X'是g的Hahn-Banach延拓。證明：
答案：
要證明的是在賦范空間X的子空間Y上定義的線性泛函g可以被延拓到整個(gè)空間X上的線性泛函f，并且這個(gè)延拓保持了g的范數(shù)。即，...
問(wèn)答題
設(shè)X是由變?cè)獮閠的常系數(shù)一元多項(xiàng)式組成的線性空間。對(duì)P∈X，
p(t)=a0+a1t+…+antn，
定義
‖P‖=sup{|P(t)|：0≤t≤1}，?‖P‖=|a0|+|a1|+…+|an|
證明‖·‖和‖·‖1都是X上的范數(shù)，且對(duì)每個(gè)P∈X有‖P‖≤‖P‖1，再證明不存在常數(shù)α，使得對(duì)所有的P∈X有‖P‖1≤α‖P‖
定義
‖P‖=sup{|P(t)|：0≤t≤1}，?‖P‖=|a0|+|a1|+…+|an|
證明‖·‖和‖·‖1都是X上的范數(shù)，且對(duì)每個(gè)P∈X有‖P‖≤‖P‖1，再證明不存在常數(shù)α，使得對(duì)所有的P∈X有‖P‖1≤α‖P‖
答案：
首先，我們需要證明兩個(gè)函數(shù) ‖·‖ 和 ‖·‖1 都滿足范數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：非負(fù)性、齊次性和三角不等式...
