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問答題
設(shè)（X1，X2，…．Xn)是取自總體X的一個(gè)樣本，E（X)＝μ，D（X)＝σ2...
設(shè)(X1，X2，…．Xn)是取自總體X的一個(gè)樣本，E(X)＝μ，D(X)＝σ2，E(X)=μ,D(X)=σ2是未知參數(shù)μ的無偏估計(jì)，也是一個(gè)相合估計(jì).所以D(X均值)=σ2/n.怎么推導(dǎo)的？
答案：
這里似乎有一個(gè)小錯(cuò)誤，因?yàn)槟岬搅恕癊(X)=μ,D(X)=σ2是未知參數(shù)μ的無偏估計(jì)，也是一個(gè)相合估計(jì)”，但是后面的問題是關(guān)于“D(X均值)=σ2/n”的推導(dǎo)。我將先解釋為什么樣本均值的方差是σ2/n，然后解釋為什么樣本均值是總體均值μ的無偏估計(jì)和相合估計(jì)。
首先，我們來推導(dǎo)為什么樣本均值的方差是σ2/n。
設(shè) \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) 是來自總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，總體均值為 \( \mu \)，總體方差為 \( \sigma^2 \)。
樣本均值定義為：
\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]
樣本均值的期望值是總體均值：
\[ E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu \]
樣本均值的方差是：
\[ D(\bar{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) \]
由于 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) 是獨(dú)立同分布的，我們可以將方差的性質(zhì)應(yīng)用到上面的表達(dá)式中：
\[ D(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) \]
因?yàn)槊總€(gè) \( X_i \) 的方差都是 \( \sigma^2 \)，所以：
\[ D(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} \]
這就是為什么樣本均值的方差是 \( \sigma^2/n \)。
接下來，解釋為什么樣本均值是總體均值μ的無偏估計(jì)和相合估計(jì)：
無偏性（Unbiasedness）：
一個(gè)估計(jì)量是無偏的，如果它的期望值等于它試圖估計(jì)的參數(shù)。對(duì)于樣本均值 \( \bar{X} \)，我們已經(jīng)證明了 \( E(\bar{X}) = \mu \)，所以樣本均值是總體均值μ的無偏估計(jì)。
相合性（Consistency）：
一個(gè)估計(jì)量是相合的，如果隨著樣本量的增加，該估計(jì)量以概率1收斂于它試圖估計(jì)的參數(shù)。根據(jù)大數(shù)定律，樣本均值 \( \bar{X} \) 會(huì)以概率1收斂于總體均值μ，即：
\[ \lim_{n \to \infty} P(|\bar{X} - \mu| < \epsilon) = 1 \]
對(duì)于任意小的正數(shù) \( \epsilon \)，這意味著隨著樣本量n的增加，樣本均值 \( \bar{X} \) 會(huì)越來越接近總體均值μ，因此樣本均值是總體均值μ的相合估計(jì)。
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問答題
有一批燈泡壽命（小時(shí))的抽取樣本：
1458，?1395，?1562，?1614，?1351
1490，?1478，?1382，?1536，?1496
試用矩估計(jì)法對(duì)這批燈泡的平均壽命μ及壽命方差σ2作出矩估計(jì)．
1490，?1478，?1382，?1536，?1496
試用矩估計(jì)法對(duì)這批燈泡的平均壽命μ及壽命方差σ2作出矩估計(jì)．
答案：
矩估計(jì)法是一種參數(shù)估計(jì)方法，它基于樣本矩與總體矩相等的原理。對(duì)于正態(tài)分布的總體，其一階原點(diǎn)矩（即均值）和二階中心矩（即方差）分別等于樣本均值和樣本方差。
設(shè)總體均值為 $\mu$，總體方差為 $\sigma^2$，樣本均值為 $\bar{x}$，樣本方差為 $s^2$。
樣本均值 $\bar{x}$ 的計(jì)算公式為：
$$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$
樣本方差 $s^2$ 的計(jì)算公式為：
$$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $$
其中 $x_i$ 是樣本中的每一個(gè)觀測值，$n$ 是樣本的大小。
現(xiàn)在我們有樣本數(shù)據(jù)：1458, 1395, 1562, 1614, 1351, 1490, 1478, 1382, 1536, 1496。
首先計(jì)算樣本均值 $\bar{x}$：
$$ \bar{x} = \frac{1}{10} (1458 + 1395 + 1562 + 1614 + 1351 + 1490 + 1478 + 1382 + 1536 + 1496) $$
$$ \bar{x} = \frac{1}{10} (14362) $$
$$ \bar{x} = 1436.2 $$
然后計(jì)算樣本方差 $s^2$：
$$ s^2 = \frac{1}{10-1} \left[ (1458 - 1436.2)^2 + (1395 - 1436.2)^2 + (1562 - 1436.2)^2 + (1614 - 1436.2)^2 + (1351 - 1436.2)^2 + (1490 - 1436.2)^2 + (1478 - 1436.2)^2 + (1382 - 1436.2)^2 + (1536 - 1436.2)^2 + (1496 - 1436.2)^2 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ (21.8)^2 + (-41.2)^2 + (125.8)^2 + (177.8)^2 + (-85.2)^2 + (53.8)^2 + (41.8)^2 + (-54.2)^2 + (99.8)^2 + (59.8)^2 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ 475.24 + 1700.64 + 15825.64 + 31612.84 + 7254.24 + 2896.84 + 1748.84 + 2937.64 + 9960.04 + 3576.04 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ 73687.04 \right] $$
$$ s^2 = 8187.45 $$
因此，這批燈泡的平均壽命 $\mu$ 的矩估計(jì)值為 1436.2 小時(shí)，壽命方差 $\sigma^2$ 的矩估計(jì)值為 8187.45 小時(shí)2。
問答題
一骰子擲了120次，得結(jié)果如下：
點(diǎn)數(shù)：??1??2??3??4??5??6
出現(xiàn)次數(shù)：?23?26?21?20?15?15
試在顯著性水平α=0.05下檢驗(yàn)這顆骰子是否勻稱？
出現(xiàn)次數(shù)：?23?26?21?20?15?15
試在顯著性水平α=0.05下檢驗(yàn)這顆骰子是否勻稱？
答案：
為了檢驗(yàn)這顆骰子是否勻稱，我們可以使用卡方檢驗(yàn)（Chi-Square Test）來分析?？ǚ綑z驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，用于檢驗(yàn)觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間是否存在顯著差異。骰子是均勻的，意味著每個(gè)面出現(xiàn)的概率都是相同的，即1/6。因此，如果骰子是均勻的，那么在足夠多次的投擲中，每個(gè)面出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)該接近總次數(shù)的1/6。
首先，我們計(jì)算期望頻數(shù)（Expected Frequency, E）：
總投擲次數(shù) = 120
每個(gè)面的期望出現(xiàn)次數(shù) = 總投擲次數(shù) / 面數(shù) = 120 / 6 = 20
接下來，我們計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量（Chi-Square Statistic, χ2）：
χ2 = Σ[(O - E)2 / E]
其中，O代表觀察頻數(shù)（Observed Frequency），E代表期望頻數(shù)。
根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算每個(gè)面的卡方值：
面數(shù)1: (23 - 20)2 / 20 = 0.49
面數(shù)2: (26 - 20)2 / 20 = 1.8
面數(shù)3: (21 - 20)2 / 20 = 0.01
面數(shù)4: (20 - 20)2 / 20 = 0
面數(shù)5: (15 - 20)2 / 20 = 1.25
面數(shù)6: (15 - 20)2 / 20 = 1.25
現(xiàn)在，我們計(jì)算總的卡方值：
χ2 = 0.49 + 1.8 + 0.01 + 0 + 1.25 + 1.25 = 4.8
接下來，我們需要確定自由度（Degrees of Freedom, df）。對(duì)于骰子，自由度是面數(shù)減去1，即：
df = 面數(shù) - 1 = 6 - 1 = 5
現(xiàn)在我們有了卡方值和自由度，我們可以查找卡方分布表，或者使用統(tǒng)計(jì)軟件來確定在顯著性水平α=0.05下的臨界值。對(duì)于自由度為5的卡方分布，在α=0.05的顯著性水平下，臨界值大約是11.07。
由于我們計(jì)算得到的卡方值4.8小于臨界值11.07，我們不能拒絕原假設(shè)（即骰子是均勻的）。因此，在顯著性水平α=0.05下，我們沒有足夠的證據(jù)表明這顆骰子不是均勻的。
