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問答題
設(shè)有向量組α1=（1，1，1，3)T，α2=（-1，-3，5，1)T，α3=（3，2，-1...
設(shè)有向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T.
(1) p為何值時，該向量組線性無關(guān)？并在此時將向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4線性表出.
(2) p為何值時，該向量組線性相關(guān)？并在此時求出它的秩和一個極大無關(guān)組.
(1) p為何值時，該向量組線性無關(guān)？并在此時將向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4線性表出.
(2) p為何值時，該向量組線性相關(guān)？并在此時求出它的秩和一個極大無關(guān)組.
答案：
(1) 當(dāng)p不等于-1時，該向量組線性無關(guān)。此時，向量α=(4, 1, 6, 10)^T可以被α1, α2, α3, α4線性表出。
為了將向量α用α1, α2, α3, α4線性表出，我們需要找到一組系數(shù)x1, x2, x3, x4，使得：
x1 * α1 + x2 * α2 + x3 * α3 + x4 * α4 = α
將向量代入，得到方程組：
x1 * (1, 1, 1, 3) + x2 * (-1, -3, 5, 1) + x3 * (3, 2, -1, p+2) + x4 * (-2, -6, 10, p) = (4, 1, 6, 10)
即：
x1 - x2 + 3x3 - 2x4 = 4
x1 - 3x2 + 2x3 - 6x4 = 1
x1 + 5x2 - x3 + 10x4 = 6
3x1 + x2 + (p+2)x3 + px4 = 10
這是一個線性方程組，可以通過高斯消元法求解系數(shù)x1, x2, x3, x4。
(2) 當(dāng)p等于-1時，該向量組線性相關(guān)。此時，向量組的秩為3，因為有四個向量，但它們線性相關(guān)，所以秩小于4。
為了求出極大無關(guān)組，我們可以將向量組的系數(shù)矩陣進(jìn)行行簡化，找到一個秩為3的子矩陣，該子矩陣對應(yīng)的向量組即為極大無關(guān)組。
我們首先寫出系數(shù)矩陣：
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
當(dāng)p = -1時，最后一列變?yōu)?3, 1, -1, -1)，此時矩陣變?yōu)椋?
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 -1 -1
通過行簡化，我們可以得到一個秩為3的矩陣，從而確定極大無關(guān)組。由于這是一個理論問題，沒有具體的數(shù)值計算過程，所以這里不提供具體的行簡化步驟。在實際操作中，你可以使用高斯消元法來找到極大無關(guān)組。
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問答題
設(shè)P（A)＞0，P（B)＞0，試將下列4個數(shù)：
P(A)，P(AB)，P(A)+P(B)，P(A∪B)
按由小到大的順序用不等號“≤”連結(jié)起來，并分別對每個不等號指明何時成為等號．
按由小到大的順序用不等號“≤”連結(jié)起來，并分別對每個不等號指明何時成為等號．
答案：
$P(AB) \leq P(A) \leq P(A)+P(B) \leq P(A \cup B)$
解釋如下：
1. $P(AB) \leq P(A)$：因為$AB$是$A$的一個子集，所以$AB$發(fā)生的概率不會大于$A$發(fā)生的概率。等號成立的條件是$B$包含于$A$，即$B \subseteq A$。
2. $P(A) \leq P(A)+P(B)$：這是概率的基本性質(zhì)，一個事件的概率不會大于它和另一個事件概率的和。等號成立的條件是$A$和$B$互斥，即$A$和$B$不能同時發(fā)生，$A \cap B = \emptyset$。
3. $P(A)+P(B) \leq P(A \cup B)$：這是概率的加法原理，兩個事件至少有一個發(fā)生的概率等于各自發(fā)生的概率之和減去兩個事件同時發(fā)生的概率。等號成立的條件是$A$和$B$互斥，即$A \cap B = \emptyset$。
綜上所述，我們得到不等式鏈：$P(AB) \leq P(A) \leq P(A)+P(B) \leq P(A \cup B)$。等號成立的條件分別是$B \subseteq A$，$A \cap B = \emptyset$，$A \cap B = \emptyset$。
