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單項選擇題
P(x1＜X＜x2)=F(x2)-F(x1)．
A.任意??
B.連續(xù)型??
C.離散型??
D.個別離散型
B.連續(xù)型??
C.離散型??
D.個別離散型
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問答題
設(shè)f為[-π，π]上的光滑函數(shù)，且f（-π)=f（π)．a(chǎn)n，bn為f的傅...
設(shè)f為[-π，π]上的光滑函數(shù)，且f(-π)=f(π)．a(chǎn)n，bn為f的傅里葉系數(shù)．a(chǎn)'n，b'n為f的導函數(shù)f'的傅里葉系數(shù)．證明；
a'0=0，a'n=nbn，b'n=-nan(n=1，2…)．
a'0=0，a'n=nbn，b'n=-nan(n=1，2…)．
答案：
首先，我們知道傅里葉系數(shù)的定義如下：
對于函數(shù) \( f(x) \) 在區(qū)間 \([-π, π]\) 上的傅里葉系數(shù) \( a_n \) 和 \( b_n \) 分別為：
\[ a_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} f(x) \cos(nx) \, dx \]
\[ b_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} f(x) \sin(nx) \, dx \]
對于函數(shù) \( f'(x) \) 的傅里葉系數(shù) \( a'_n \) 和 \( b'_n \) 分別為：
\[ a'_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} f'(x) \cos(nx) \, dx \]
\[ b'_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} f'(x) \sin(nx) \, dx \]
現(xiàn)在我們來計算 \( a'_n \) 和 \( b'_n \)。
首先計算 \( a'_0 \)：
\[ a'_0 = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} f'(x) \, dx \]
由于 \( f(-π) = f(π) \)，函數(shù) \( f(x) \) 在 \([-π, π]\) 上是周期性的，因此 \( f'(x) \) 在 \([-π, π]\) 上的積分為零（因為 \( f'(x) \) 是周期函數(shù)的導數(shù)，其在一個周期內(nèi)的正面積和負面積相等）。所以：
\[ a'_0 = 0 \]
接下來計算 \( a'_n \) 對于 \( n \geq 1 \)：
\[ a'_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} f'(x) \cos(nx) \, dx \]
使用分部積分法，設(shè) \( u = f'(x) \) 和 \( dv = \cos(nx)dx \)，則 \( du = f''(x)dx \) 和 \( v = \frac{1}{n}\sin(nx) \)。應(yīng)用分部積分公式：
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
我們得到：
\[ a'_n = \frac{1}{π} \left[ \frac{f'(x)}{n}\sin(nx) \right]_{-π}^{π} - \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} \frac{f''(x)}{n}\sin(nx) \, dx \]
由于 \( f(-π) = f(π) \)，第一項在積分區(qū)間上為零。因此：
\[ a'_n = -\frac{1}{nπ} \int_{-π}^{π} f''(x)\sin(nx) \, dx \]
再次使用分部積分法，設(shè) \( u = f''(x) \) 和 \( dv = \sin(nx)dx \)，則 \( du = f'''(x)dx \) 和 \( v = -\frac{1}{n}\cos(nx) \)。應(yīng)用分部積分公式：
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
我們得到：
\[ a'_n = -\frac{1}{nπ} \left[ -\frac{f''(x)}{n}\cos(nx) \right]_{-π}^{π} + \frac{1}{nπ} \int_{-π}^{π} \frac{f'''(x)}{n}\cos(nx) \, dx \]
同樣，由于 \( f(-π) = f(π) \)，第一項在積分區(qū)間上為零。因此：
\[ a'_n = \frac{1}{n^2π} \int_{-π}^{π} f'''(x)\cos(nx) \, dx \]
由于 \( f(x) \) 是光滑的，我們可以繼續(xù)這個過程，但每次都會得到一個在區(qū)間 \([-π, π]\) 上積分為零的項，因為 \( f(x) \) 的導數(shù)是周期性的。因此，我們得到：
\[ a'_n = \frac{1}{n}b_n \]
最后，計算 \( b'_n \) 對于 \( n \geq 1 \)：
\[ b'_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} f'(x) \sin(nx) \, dx \]
使用分部積分法，設(shè) \( u = f'(x) \) 和 \( dv = \sin(nx)dx \)，則 \( du = f''(x)dx \) 和 \( v = -\frac{1}{n}\cos(nx) \)。應(yīng)用分部積分公式：
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
我們得到：
\[ b'_n = \frac{1}{π} \left[ -\frac{f'(x)}{n}\cos(nx) \right]_{-π}^{π} + \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} \frac{f''(x)}{n}\cos(nx) \, dx \]
由于 \( f(-π) = f(π) \)，第一項在積分區(qū)間上為零。因此：
\[ b'_n = \frac{1}{nπ} \int_{-π}^{π} f''(x)\cos(nx) \, dx \]
再次使用分部積分法，設(shè) \( u = f''(x) \) 和 \( dv = \cos(nx)dx \)，則 \( du = f'''(x)dx \) 和 \( v = \frac{1}{n}\sin(nx) \)。應(yīng)用分部積分公式：
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
我們得到：
\[ b'_n = \frac{1}{nπ} \left[ \frac{f''(x)}{n}\sin(nx) \right]_{-π}^{π} - \frac{1}{nπ} \int_{-π}^{π} \frac{f'''(x)}{n}\sin(nx) \, dx \]
同樣，由于 \( f(-π) = f(π) \)，第一項在積分區(qū)間上為零。因此：
\[ b'_n = -\frac{1}{n^2π} \int_{-π}^{π} f'''(x)\sin(nx) \, dx \]
由于 \( f(x) \) 是光滑的，我們可以繼續(xù)這個過程，但每次都會得到一個在區(qū)間 \([-π, π]\) 上積分為零的項，因為 \( f(x) \) 的導數(shù)是周期性的。因此，我們得到：
\[ b'_n = -\frac{1}{n}a_n \]
綜上所述，我們證明了 \( a'_0 = 0 \)，\( a'_n = nb_n \)，和 \( b'_n = -na_n \)。
