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大學試題

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問答題 判斷矩陣能否對角化？若能對角化，求出相似變換矩陣。

1.問答題 設向量α₁=（1，4，0，2）^T，α₂=（2，7，1，3）^T，α₃=（0，1，-1，a）^T，β=（3，10，b，4）^T。
（1）當a，b取何值時，β不能由α₁，α₂，α₃線性表示？
（2）當a，b取何值時，β可由α₁，α₂，α₃線性表示？并求出相應的表示式。

2.問答題 判斷矩陣能否對角化？若能對角化，求出相似變換矩陣。

3.問答題設2為A的一個特征值，且B=A²+3A+5I，試證：15為B的一個特征值。

4.問答題 將題中向量β表示為其他向量的線性組合：
β=（2，-1，5，1），ε₁=（1，0，0，0）
ε₂=（0，1，0，0），ε₃=（0，0，1，0），ε₄=（0，0，0，1）

5.問答題設x為方陣A對應于特征值λ₀的特征向量，k為一個正整數(shù)，試證：λ^k₀為A^k的特征值，且x為A^k對應于λ^k₀的特征向量。