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案例：閱讀下列兩位教師的教學過程。
教師甲的教學過程：
師：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？
如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個點要爬一次10km長的電線桿子，大約有200多根電線桿子呢。想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？
生1：直接一個個電線桿去尋找。
生2：先找中點，縮小范圍，再找剩下來一半的中點。
師：生2的方法是不是對呢？我們一起來考慮一下。

如圖，維修工人首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩個端點測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來查。每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就能把故障點鎖定在一兩根電線桿附近。
師：我們可以用一個動態(tài)過程來展示一下（展示多媒體課件）。
在一條線段上找某個特定點，可以通過取中點的方法逐步縮小特定點所在的范圍（即二分法思想）。
教師乙的教學過程：
師：大家都看過李詠主持的《幸運52》吧，今天咱也試一回（出示游戲：看商品、猜價格）。
生：積極參與游戲，課堂氣氛活躍。
師：競猜中，"高了"、"低了"的含義是什么？如何確定價格的最可能的范圍？
生：主持人"高了、低了"的回答是判斷價格所在區(qū)間的依據。
師：如何才能更快的猜中商品的預定價格？
生：回答各異。
老師由此引導學生說出"二分法"的思想，并向同學們引出二分法的概念。
問題：
（1）分析兩種情景引入的特點。
（2）結合案例，說明為什么要學習用二分法求方程的近似解。

案例：某教師在對基本初等函數進行教學時，給學生出了如下一道練習題：

問題：（1）指出該生解題過程中的錯誤，分析其錯誤原因；
（2）給出你的正確解答；
（3）指出你在解題時運用的數學思想方法。

案例：
下面是一位老師在講"簡單幾何體的三視圖"的教學片斷，請閱讀后回答問題：
創(chuàng)設問題情境，從學生熟悉的古詩入手，引出課題。
多媒體顯示：
題西林壁
--蘇軾
橫看成嶺側成峰，
遠近高低各不同。
不識廬山真面目，
只緣身在此山中。
師：大家看大屏幕，一起朗讀這首詩。
師：哪位同學能說說蘇東坡是怎樣觀察廬山的嗎？都有什么感覺？
生：橫看，側看，遠看，近看，高看，低看。都得到不同的效果。
師：回答得非常好。可能有些同學會納悶，今天老師上數學課怎么會念起古詩來？其實，這首詩隱含著一些數學知識。它教會了我們怎樣觀察物體，這也是我們這節(jié)課將要學習的內容--簡單組合體的三視圖（寫板書）。
問題：
（1）該教師的課堂引入有什么特色，對教學有什么好處？
（2）簡單談談數學教學過程中怎樣調動學生的學習熱情激發(fā)學習興趣。

案例：某教師在對根與系數關系綜合運用教學時，給學生出了如下一道練習題：
設α、β是方程x²-2kx+k+6=0的兩個實根，則（α-1）²+（β-1）²的最小值是（）。
A.
B.8
C.18
D.不存在
某學生的解答過程如下：
利用一元二次方程根與系數的關系易得：α+β=2k，αβ=k+6
所以。故選A。
問題：（1）指出該生解題過程中的錯誤，分析其錯誤原因；
（2）給出你的正確解答；
（3）指出你在解題時運用的數學思想方法。

在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系。已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為，且點A在直線l上。
（1）求α的值及直線ι的直角坐標方程：
（2）圓c的參數方程為，試判斷直線l與圓C的位置關系。

，（1）求Aⁿ；（2）求（A+2E）ⁿ。

設f（x），g（x）在[0，1]上的導數連續(xù)，且f（0）=0，f′（x）≥0，g′（x）≥0。證明：對任何a∈[O，1]，有

設f（x），g（x）在[a，b]上連續(xù)，且滿足

已知橢圓C₁、拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點D，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
（1）求C₁、C₂的標準方程：

（2）請問是否存在直線L滿足條件：①過C₂的焦點F；②與C₁交不同兩點M、N，且滿足若存在，求出直線L的方程；若不存在，說明理由。

已知向量a，b，滿足|a|=|b|=1，且，其中k>0。
（1）試用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此時a與b的夾角θ的值；
（2）當a·b取得最大值時，求實數λ，使|a+λb|的值最小，并對這一結論作出幾何解釋。